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3.1

Bei einem digitalen Messerfassungssystem, wie dem Digitaloszilloskop, wird eine zu messende Größe X in eine elektrische Größe umgewandelt. Dies erfolgt im Messumwandler. Mithilfe der analogen Signalverarbeitung (ASV) wird das elektrische Signal in eine primäre elektrische Größe, wie der Spannung umgeformt. Diese Spannung wird anschließend dem Analog"=Digital"=Umsetzer (ADU) zugeführt, welcher die Spannung in ein digitales Signal einer bestimmten Codierung wandelt. Zur Auswertung der digitalen Signale, werden diese in der digitalen Signalverarbeitung (DSV) zu Messwerten verarbeitet. Diese Messwerte können dann gespeichert, weiterverarbeitet oder angezeigt werden. Die Signalabtastung kann dabei nach folgenden Verfahren stattfinden:

Die AD-Wandler können dabei nach folgenden Verfahren arbeiten.

Parallelumsetzung

Stufenumsetzung (sukzessive Approximation)

Kaskadenumsetzung

Durch die Speicherung ist eine Pretriggerung und eine Posttriggerung möglich. Dabei werden die gespeicherten Daten so aufbereitet, dass das Signal vor bzw. nach einem bestimmten Zeitpunkt dargestellt werden kann.

3.2 Damit ein digitalisiertes Signal wieder rekonstruiert werden kann, müssen die Voraussetzungen des Shannon-Theorems erfüllt werden. Dieses besagt:

Ein bandbreitenbegrenztes Signal mit einer maximalen Frequenz $\begin{matrix} f_{m a x} & (1) \end{matrix}$ muss mit einer Abtastfrequenz $\begin{matrix} f_{a} & (2) \end{matrix}$ , welche der Bedingung

$\begin{matrix} f_{a} \overset{!}{\geq} 2 \cdot f_{m a x} & (3) \end{matrix}$

entspricht abgetastet werden. Die Abtastzeitpunkte müssen äquidistant zueinander liegen.
1
Prof. Dr. rer. nat. Alexander Richter: Script Messtechnik I, Kapitel 7, S.10

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3.3

Mit FFT ist die Fast-Fourier-Transformation (schnelle Fouriertransformation) gemeint. Grundlage für die FFT ist die diskrete Fourier-Transformation (DFT).

$\begin{matrix} \underline{X} (n) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} x (k) e^{- j 2 π \frac{n k}{N}} & (4) \end{matrix}$

Cooley und Turkey haben 1965 erstmals gezeigt, daß die Berechnung der DFT mit viel weniger Einzeloperationen ausgeführt werden kann. Den von ihnen verwendeten Algorithmus nannten sie FFT. Die FFT verringert den Aufwand an komplexen Operationen, die zur Berechnung der Spektrallinien der DFT erforderlich sind, etwa

N^{2}

auf

N \cdot l d N

und schafft durch diese drastische Verringerung die Voraussetzung für die breite Anwendung der Frequenzanalyse in Echtzeit.
Da die Idee der FFT darin besteht, daß die Zahl der zu transformierenden Abtastwerte schrittweise halbiert wird, bis elementare Transformationen von jeweils 2 Abtastwerten übrig bleiben, setzt ihre Anwendung zwingend voraus, daß die Zahl N der zu transformierenden Abtastwerte eine Zweierpotenz ist.

Für die FFT gibt es mehrere Wege, die Anzahl der mathematischen Teiloperationen einzuschränken. Zwei dieser Methoden sind:

Decimation in time

Decimation in frequency

Bei der Methode Decimation in Time (DIT) erfolgt die erforderliche Zerlegung der DFT von N Werten in zwei Transformationen von jeweils N/2 Werten derart, dass die Summe in (2) in zwei Teilsummen aufgeteilt wird, von denen die erste alle Abtastwerte mit geradzahligem Index, die zweite alle Abtastwerte mit ungeradzahligem Index erfaßt:

\begin{matrix} \underline{X} (n) & = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} x (k) e^{- j 2 π \frac{n k}{N}} & (5) \\ \underline{X} (n) & = \frac{1}{N} [\sum_{k g e r a d e} x (k) e^{- j 2 π \frac{n k}{N}} + \sum_{k u n g e r a d e} x (k) e^{- j 2 π \frac{n k}{N}}] & (6) \\ \underline{X} (n) & = \frac{1}{N} [\sum_{k = 0}^{N / 2 - 1} x (2 k) e^{- j 2 π \frac{2 n k}{N}} + \sum_{k = 0}^{N / 2 - 1} x (2 k + 1) e^{- j 2 π \frac{n (2 k + 1)}{N}}] & (7) \\ \underline{X} (n) & = \frac{1}{N} [\sum_{k = 0}^{N / 2 - 1} x (2 k) e^{- j 2 π \frac{n k}{(N / 2)}} + e^{- j 2 π \frac{n}{N}} \sum_{k = 0}^{N / 2 - 1} x (2 k + 1) e^{- j 2 π \frac{n k}{(N / 2)}}] & (8) \end{matrix}

Bei der Methode Decimation in Frequency (DIF, Frequenzumordnung) teilt man die N-gliedrige Summe der DFT in eine untere und eine obere Hälfte ein. Das heißt, dass die Gleichung (5) in

\begin{matrix} \underline{X} (n) = \frac{1}{N} [\sum_{k = 0}^{N / 2 - 1} x (k) e^{- j 2 π \frac{n k}{N}} + \sum_{k = N / 2}^{N - 1} x (k) e^{- j 2 π \frac{n k}{N}}] & (9) \end{matrix}

zu ändern ist.

Das folgende Bild zeigt in a) das Schema der DIT und in b) das Schema der DIF.

image: 0_home_juergen_Dokumente_Studium_4__Semester_Messtechnik_Praktikum_E_FFT1.jpg

[2, S.51]

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3.4 Ein Unterschied zwischen FFT-Analysatoren und Spektrumanalysatoren ist, dass der FFT-Analysator digital und der Spektrumanalysator analog arbeitet. Der aber augenscheinlichste Unterschied besteht im Frequenzbereich der von FFT-Analysatoren reicht von DC bis ca. 100 kHz - bei Spezialgeräten bis 10 MHz - und der von Spektrumanalysatoren von einigen Hertz bis über 1 THz.

FFT-Analysatoren arbeiten nach einem Abtastverfahren ähnlich dem einer parallelen Bank von Filtern und eignen sich daher besonders zur Analyse transienter Signale. Spektrumanalysatoren tasten den Frequenzbereich sequentiell ab und können deswegen nur periodische Signale fehlerfrei analysieren. Eine Erhöhung der Selektivität bedingt beim Spektrumanalysator eine Verkleinerung der Auflösungsbandbreite, hingegen beim FFT-Analysator eine Vergrößerung des Meßfensters bzw. Reduzierung der Abtastrate.

[3, S.40]

Weitere Unterschiede können der Tabelle der Versuchsanleitung unter 1. entnommen werden. 60pt

3.5

Aliasing tritt durch Unterabtastung des analogen Signals auf.

\begin{matrix} f_{a} < 2 f_{s} & (10) \end{matrix}

Dabei ist die Frequenz des abgetasteten Signals (Ergebnis der Abtastung) kleiner als die des Signals selbst.

\begin{matrix} f_{a l i a s i n g} < f_{s} & (11) \end{matrix}

Aliasing kann auch durch Anteile hoher Frequenzen im abgetasteten Signal auftreten, da diese meist der Unterabtastung unterliegen, daher sollte jedes digitale Messgerät einen Anti-Aliasing-Filter der Abtastung vorschalten.
Der Aliasing-Effekt hat zur Folge, dass ein falsches Spektrum an Frequenzen dargestellt wird. Die Frequenzanteile welche das Abtasttheorem nicht erfüllen, werden als niedrigere Frequenzen dargestellt. Es entstehen sozusagen ""Geisterfrequenzen"".

image: 1_home_juergen_Dokumente_Studium_4__Semester_Messtechnik_Praktikum_E_Aliasing.png

Die im obigen Bild dargestellte Veranschaulichung des Alias-Effekts zeigt ein kontinuierliches Ausgangssignal (schwarze Linie) und wird mit einer ungeeigneten Abtastfrequenz, die kleiner als vom Abtasttheorem gefordert ist, diskretisiert. Aus den erhaltenen Messwerten (Kreise) entsteht durch Interpolation ein verfälschtes Signal mit viel zu großer Periode (rote Linie). 60pt

3.6

" Oft ist es erforderlich, anstelle eines längeren Signals nur Ausschnitte aus diesem Signal der Analyse zu unterwerfen. Der Vorgang des Auschneidens entspricht mathematisch der multiplikation der Originalfunktion x beispielsweise mit einer Rechteckfunktion, die nur für die Dauer des Analysezeitfensters den Wert 1 annimmt. Sie wird daher auch als Fensterfunktion h(t) bezeichnet. Der Fourier-Transformation wird folglich nur das Produkt

x (t) \cdot h (t)

zugeführt. Die im Zeitbereich durchzuführende Multiplikation entspricht im Bildbereich der Faltung

X (j ω) * H (j ω)

.
Das folgende Bild zeigt das Signal und die Fensterfunktion (hier Rechteckfunktion) im Zeit- und Bildbereich, sowie das Ergebnis der Multiplikation im Zeitbereich bzw. der Faltung im Bildbereich. Als Signal wurde hier eine Cosinusfunktion gewählt.

image: 2_home_juergen_Dokumente_Studium_4__Semester_Messtechnik_Praktikum_E_Fensterfunktion.jpg

Es ist zu erkennen, dass an der Stelle der beiden Spektrallinien je eine Kopie des Spektrums des Rechteckfensters, also der Spaltfunktion, zu finden ist. Allgemein kann somit gesagt werden:

Wird aus einem Signal, das ein Linienspektrum besitzt, ein Analysezeitfenster ausgeschnitten, bekommt das entstehende Kurzzeitspektrum überall dort, wo sich ursprünglich eine Linie befand, eine Kopie des Spektrums der Fensterfunktion.
3
[2, S.34]

Es ist zu erkennen, dass das zeitliche Ausschneiden die Spektrallinien zu Frequenzbändern "verschmiert". Je länger man die Dauer des Zeitfensters macht, desto schärfer bleiben die Linien erhalten. Um ein zu starkes "verschmieren" zu verhindern, ist es nicht günstig eine Rechteckfunktion als Fensterfunktion zu verwenden, daher verwendet man Funktionen, welche gar keine oder stärker bedämpfte spektrale Nebenmaxima haben. Folgendes Bild zeigt eine Auswahl.