% Messtechnik Praktikum E
% Vorbereitung Set 4.12 SS2011
% Hauptdokument
\documentclass[a4paper,12pt]{article}



% Packete einbinden
\usepackage[ngerman]{babel}
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{amsmath, amsthm, amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{geometry}



% Formatierungen festlegen
%\baselineskip20pt %Zeilenabstand
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{\baselineskip}
\bibliographystyle{plainnat}
\geometry{
	outer=23mm,
	inner=22mm
}



%Schriftart
\fontfamily{ptm}\selectfont %Schriftart Times



% Trennverhalten
%\hyphenpenalty=1000
\hyphenation{Analog-Digital-Umsetzer}



% Inhalt 
\begin{document}

	% Aufgabe 3.1
	% Erläutern Sie die Funktionsweise eines digitalen Meßerfassungssystems am Beispiel eines Digitaloszilloskops
	3.1

	Bei einem digitalen Messerfassungssystem, wie dem Digitaloszilloskop, wird eine zu messende Größe X in eine elektrische
	Größe umgewandelt. Dies erfolgt im Messumwandler. Mithilfe der analogen Signalverarbeitung (ASV) wird das elektrische
	Signal in eine primäre elektrische Größe, wie der Spannung umgeformt. Diese Spannung wird anschließend dem
	Analog"=Digital"=Umsetzer (ADU) zugeführt, welcher die Spannung in ein digitales Signal einer bestimmten Codierung
	wandelt. Zur Auswertung der digitalen Signale, werden diese in der digitalen Signalverarbeitung (DSV) zu Messwerten
	verarbeitet. Diese Messwerte können dann gespeichert, weiterverarbeitet oder angezeigt werden.
	
	Die Signalabtastung kann dabei nach folgenden Verfahren stattfinden:
	\begin{itemize}
		\item Echtzeitabtastung
		\begin{itemize}
			\item einzelner AD-Wandler
			\item verschachtelter AD-Wandler (interleaved ADC)
		\end{itemize}
		\item Äquivalenzzeitabtastung
		\begin{itemize}
			\item sequenzielle Abtastung (sequential sampling)
			\item Zufallsabtastung (random-repetitive sampling)
		\end{itemize}
	\end{itemize}
	
	Die AD-Wandler können dabei nach folgenden Verfahren arbeiten.
	\begin{itemize}
		\item Parallelumsetzung
		\item Stufenumsetzung (sukzessive Approximation)
		\item Kaskadenumsetzung
	\end{itemize}
	
	Durch die Speicherung ist eine Pretriggerung und eine Posttriggerung möglich. Dabei werden die gespeicherten Daten so
	aufbereitet, dass das Signal vor bzw. nach einem bestimmten Zeitpunkt dargestellt werden kann. 

	\newpage

	

	% Aufgabe 3.2
	% Unter welchen Voraussetzungen ist ein digitalisiertes 
	% (Meß-)Signal zu rekonstruieren?
	3.2
	
	Damit ein digitalisiertes Signal wieder rekonstruiert werden kann, müssen die Voraussetzungen des Shannon-Theorems 	
	erfüllt werden. Dieses besagt:

	\begin{quote}
		Ein bandbreitenbegrenztes Signal mit einer maximalen Frequenz \(f_{max}\) muss mit einer Abtastfrequenz \(f_a\),
		welche der Bedingung 
		\begin{center}
			\begin{equation}
				f_a \stackrel{!}{\geq} 2 \cdot f_{max} 
			\end{equation}
		\end{center}
		entspricht abgetastet werden. Die Abtastzeitpunkte müssen äquidistant zueinander liegen.\footnote{Prof. Dr. rer. nat.
		Alexander Richter: Script Messtechnik I, Kapitel 7, S.10}
	\end{quote}

	\parskip 60pt
	


	% Aufgabe 3.3
	% Was ist unter FFT zu verstehen?
	3.3

	\parskip \baselineskip
	
	Mit FFT ist die Fast-Fourier-Transformation (schnelle Fouriertransformation) gemeint. Grundlage für die FFT ist die 
	diskrete Fourier-Transformation (DFT).
	\begin{quote}
		\begin{equation}
			\underline{X}(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}x(k)e^{-j2\pi\frac{nk}{N}} 
		\end{equation}
	\end{quote}
	Cooley und Turkey haben 1965 erstmals gezeigt, daß die Berechnung der DFT mit viel weniger Einzeloperationen ausgeführt
	werden kann. Den von ihnen verwendeten Algorithmus nannten sie FFT. Die FFT verringert den Aufwand an komplexen
	Operationen, die zur Berechnung der Spektrallinien der DFT erforderlich sind, etwa $ N^2 $ auf $ N \cdot ld N $ und schafft
	durch diese drastische Verringerung die Voraussetzung für die breite Anwendung der Frequenzanalyse in Echtzeit. 
	\newpage
	Da die Idee der FFT darin besteht, daß die Zahl der zu transformierenden Abtastwerte schrittweise halbiert wird, bis
	elementare Transformationen von jeweils 2 Abtastwerten übrig bleiben, setzt ihre Anwendung zwingend voraus, daß die Zahl
	N der zu transformierenden Abtastwerte eine Zweierpotenz ist.

	Für die FFT gibt es mehrere Wege, die Anzahl der mathematischen Teiloperationen einzuschränken. Zwei dieser Methoden sind:
	\begin{itemize}
		\item Decimation in time
		\item Decimation in frequency
	\end{itemize}
	Bei der Methode Decimation in Time (DIT) erfolgt die erforderliche Zerlegung der DFT von N Werten in zwei
	Transformationen von jeweils N/2 Werten derart, dass die Summe in (2) in zwei Teilsummen aufgeteilt wird, von denen die
	erste alle Abtastwerte mit geradzahligem Index, die zweite alle Abtastwerte mit ungeradzahligem Index erfaßt:
	
	\begin{align}
		\underline{X}(n) &= \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} x(k)e^{-j2\pi\frac{nk}{N}} \\
		\underline{X}(n) &= \frac{1}{N} \left[ \sum_{k \  gerade} x(k)e^{-j2\pi\frac{nk}{N}} + \sum_{k \  ungerade}x(k)e^{-j2
		\pi\frac{nk}{N}} \right] \\
		\underline{X}(n) &= \frac{1}{N} \left[ \sum_{k=0}^{N/2-1} x(2k)e^{-j2\pi\frac{2nk}{N}} + \sum_{k=0}^{N/2-1}
		x(2k+1)e^{-j2
		\pi\frac{n \left( 2k+1 \right)}{N}} \right] \\
		\underline{X}(n) &= \frac{1}{N} \left[ \sum_{k=0}^{N/2-1} x(2k)e^{-j2\pi\frac{nk}{\left( N/2 \right)}} + 
		e^{-j2\pi\frac{n}{N}} \sum_{k=0}^{N/2-1}x(2k+1)e^{-j2\pi\frac{nk}{\left( N/2 \right)}} \right] 
	\end{align}
	
	\newpage
	
	Bei der Methode Decimation in Frequency (DIF, Frequenzumordnung) teilt man die N-gliedrige Summe der DFT in eine untere
	und eine obere Hälfte ein. Das heißt, dass die Gleichung (5) in
	\begin{equation}
		\underline{X}(n) = \frac{1}{N} \left[ \sum_{k=0}^{N/2-1} x(k)e^{-j2\pi\frac{nk}{N}} + \sum_{k=N/2}^{N-1}x(k)e^{-j2
		\pi\frac{nk}{N}} \right] 
	\end{equation}
	zu ändern ist. 

	Das folgende Bild zeigt in a) das Schema der DIT und in b) das Schema der DIF.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.9]{FFT1} \\
		\scriptsize \cite[S.51]{GdF}
	\end{center}
	
	\parskip 60pt

	

	% Aufgabe 3.4
	% Wodurch unterscheiden sich FFT-Analysatoren und Spektrumanalysatoren
	3.4
	
	\parskip \baselineskip
	
	Ein Unterschied zwischen FFT-Analysatoren und Spektrumanalysatoren ist, dass der FFT-Analysator digital und der
	Spektrumanalysator analog arbeitet.	Der aber augenscheinlichste Unterschied besteht im Frequenzbereich der von
	FFT-Analysatoren reicht von DC bis ca. 100 kHz - bei Spezialgeräten bis 10 MHz - und der von Spektrumanalysatoren von
	einigen Hertz bis über 1 THz. 

	FFT-Analysatoren arbeiten nach einem Abtastverfahren ähnlich dem einer parallelen Bank von Filtern und eignen sich daher
	besonders zur Analyse transienter Signale. Spektrumanalysatoren tasten den Frequenzbereich sequentiell ab und können
	deswegen nur periodische Signale fehlerfrei analysieren. Eine Erhöhung der Selektivität bedingt beim Spektrumanalysator
	eine Verkleinerung der Auflösungsbandbreite, hingegen beim FFT-Analysator eine Vergrößerung des Meßfensters bzw.
	Reduzierung der Abtastrate. \footnote{ \cite[S.40]{Spektrumanalyse} }
	
	Weitere Unterschiede können der Tabelle der Versuchsanleitung unter 1. entnommen werden.
	
	\parskip 60pt

	

	% Aufgabe 3.5
	% Was ist unter dem Aliasing - Effekt zu verstehen?
	3.5

	\parskip \baselineskip
	
	Aliasing tritt durch Unterabtastung des analogen Signals auf. 
	\begin{equation}
		f_a < 2f_s
	\end{equation}
	Dabei ist die Frequenz des abgetasteten Signals (Ergebnis der Abtastung) kleiner als die des Signals selbst.
	\begin{equation}
		f_{aliasing} < f_s
	\end{equation}
	Aliasing kann auch durch Anteile hoher Frequenzen im abgetasteten Signal auftreten, da diese meist der Unterabtastung
	unterliegen, daher sollte jedes digitale Messgerät einen Anti-Aliasing-Filter der Abtastung vorschalten.
	
	\newpage
	
	Der Aliasing-Effekt hat zur Folge, dass ein falsches Spektrum an Frequenzen dargestellt wird. Die Frequenzanteile welche
	das Abtasttheorem nicht erfüllen, werden als niedrigere Frequenzen dargestellt. Es entstehen sozusagen 
	\shorthandoff{"}"Geisterfrequenzen"\shorthandon{"}.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.45]{Aliasing.png} 
	\end{center}
	Die im obigen Bild dargestellte Veranschaulichung des Alias-Effekts zeigt ein kontinuierliches Ausgangssignal (schwarze
	Linie) und wird mit einer ungeeigneten Abtastfrequenz, die kleiner als vom Abtasttheorem gefordert ist, diskretisiert.
	Aus den erhaltenen Messwerten (Kreise) entsteht durch Interpolation ein verfälschtes Signal mit viel zu großer Periode
	(rote Linie).
	
	\parskip 60pt
	


	% Aufgabe 3.6
	% Erläutern Sie den Begriff der Fensterfunktion!
	3.6

	\parskip \baselineskip
	\shorthandoff{"}
	
	Oft ist es erforderlich, anstelle eines längeren Signals nur Ausschnitte aus diesem Signal der Analyse zu unterwerfen.
	Der Vorgang des Auschneidens entspricht mathematisch der multiplikation der Originalfunktion x beispielsweise mit einer
	Rechteckfunktion, die nur für die Dauer des Analysezeitfensters den Wert 1 annimmt. Sie wird daher auch als
	Fensterfunktion h(t) bezeichnet. Der Fourier-Transformation wird folglich nur das Produkt $ x(t) \cdot h(t) $ zugeführt.
	Die im Zeitbereich durchzuführende Multiplikation entspricht im Bildbereich der Faltung $ X(j\omega) * H(j\omega) $. 
	
	\newpage
	
	Das folgende Bild zeigt das Signal und die Fensterfunktion (hier Rechteckfunktion) im Zeit- und Bildbereich, sowie das 
	Ergebnis der Multiplikation im Zeitbereich bzw. der Faltung im Bildbereich. Als Signal wurde hier eine Cosinusfunktion
	gewählt.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.7]{Fensterfunktion.jpg}
	\end{center}
	
	Es ist zu erkennen, dass an der Stelle der beiden Spektrallinien je eine Kopie des Spektrums des Rechteckfensters, also
	der Spaltfunktion, zu finden ist. Allgemein kann somit gesagt werden:
	\begin{quote}
		Wird aus einem Signal, das ein Linienspektrum besitzt, ein Analysezeitfenster ausgeschnitten, bekommt das entstehende
		Kurzzeitspektrum überall dort, wo sich ursprünglich eine Linie befand, eine Kopie des Spektrums der Fensterfunktion.
		\footnote{ \cite[S.34]{GdF} }
	\end{quote}

	\newpage

	Es ist zu erkennen, dass das zeitliche Ausschneiden die Spektrallinien zu Frequenzbändern "verschmiert". Je länger man
	die Dauer des Zeitfensters macht, desto schärfer bleiben die Linien erhalten. Um ein zu starkes "verschmieren" zu
	verhindern, ist es nicht günstig eine Rechteckfunktion als Fensterfunktion zu verwenden, daher verwendet man Funktionen,
	welche gar keine oder stärker bedämpfte spektrale Nebenmaxima haben. Folgendes Bild zeigt eine Auswahl.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=1.0]{Fensterfunktion2.jpg} \\
		\scriptsize \cite[S.136]{GdF}
	\end{center}
	
	\shorthandon{"}
	\newpage



	% Aufgabe 3.7
	% Was sind Leakage - Effekte?
	3.7
	
	Leakage-Effekt oder auch Leck- bzw. Lattenzauneffekt tritt auf, wenn die Abtastfrequenz kein ganzzahliges Vielfaches der
	Signalfrequenz ist. Dadurch entstehen die Spektrallinien nicht an der Stelle der Signalfrequenz, sondern werden durch
	benachbarte Linien, mit dem Abstand $ \omega_A / N $ , dargestellt.
	
	Das folgende Bild illustriert dieses Verhalten. Die Frequenzanalyse eines Cosinussignals soll mit Hilfe einer DFT mit
	N=20 erfolgen. In einem ersten Fall wird angenommen, dass gerade fünf Signalperioden in das Zeitfenster passen. Damit
	wird periodensynchron abgetastet, und man erhält die korrekte Beschreibung des Cosinus in a). Das Bild ändert sich, wenn
	man die Abtastfrequenz verändert. In b) wurde sie etwas erhöht, so daß das Zeitfenster noch 4,8 Cosinusperioden umfaßt,
	während in c) noch weiter erhöht wurde, so dass das Zeitfenster 4,5 Cosinusperioden umfaßt. Dabei treten an den
	Zeitfenstergrenzen maximale Diskontinuitäten auf, und die Signalfrequenz liegt genau in der Mitte zwischen zwei
	DFT-Spektrallinien.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.9]{Leck1.jpg} \\
		\scriptsize \cite[S.54]{GdF}
	\end{center}
	
	\newpage
	
	Das nächste Bild zeigt das Gleiche, aber unter Verwendung eines HAMMING-Fensters. Es fällt auf, dass in diesem Fall die
	drei Teilbilder einander deutlich ähnlicher werden. Bei periodensynchroner Abtastung a) werden die korrekten
	Cosinus-Linien leider verunschärft, jedoch in dem praktisch bedeutsamen Fall der nicht periodensynchronen Abtastung, der
	durch b) und c) repräsentiert wird, erkennt man den Nutzen der Anwendung der Fensterfunktion zur Dämpfung der fernab der
	Signalfrequenz befindlichen Linien.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.9]{Leck2.jpg} \\
		\scriptsize \cite[S.55]{GdF}
	\end{center}

	\newpage
	
	
	
	% Aufgabe 3.8
	% Erläutern Sie folgende Begriff
	% 	- Dekade, Oktave	1/3-Oktav-Bandbreite
	% 	- absolute Bandbreite,	relative Bandbreite
	%	- lineare Frequenzdarstellung,	logarithmische Frequenzdarstellung
	3.8

	\parskip \baselineskip
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{Micha1.jpg}
	\end{center}
	
	B bezeichnet die absolute Bandbreite und wird durch 
	\begin{equation} 
		B = f_2 - f_1 
	\end{equation} 
	berechnet. $ f_2 $ ist hierbei die obere- und $ f_1 $ die untere Grenzfrequenz. Neben der absoluten Bandbreite gibt es
	auch noch eine relative Bandbreite. Diese bezieht sich auf die Resonanzfrequenz.
	\begin{equation} 
		b= \frac{B}{f_{res}} = \frac{f_2-f_1}{f_{res}}
	\end{equation} 
	
	Oktave bezeichnet den Frequenzbereich bei dem $ f_2 $ und $ f_1 $ ein Verhältnis von 2 haben. Bei einer 1/3
	Oktav-Bandbreite (Terzbandbreite) ist dieses Verhältnis 1,26. 
	\begin{equation}
		f_2 = \sqrt[3]{2} \cdot f_1 = 1,2599 \cdot f_1
	\end{equation}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.5]{Micha2.jpg} \\
		\scriptsize Beispiel für $ f_0 = 1000 Hz $
	\end{center}
	
	Eine Dekade bezeichnet ein Intervall, dessen Grenzen sich um den Faktor 10 Unterscheiden. Anwendung findet sie z.B. bei
	der logarithmischen Darstellung mit dem dekadischen Logarithmus.

	Im Gegensatz zur linearen Frequenzdarstellung, bei welcher die jeweiligen Werte ohne weitere mathematische Bearbeitung
	angetragen werden, wird bei der logarithmischen Darstellung der Logarithmus des Zahlenwertes an die Achsen angetragen.
	Hilfreich wird diese Art der Darstellung wenn der Wertebereich viele Größenordnungen überstreicht.
	
	\parskip 60pt

	

	% Aufgabe 3.9
	% Charakterisieren Sie die folgenden Spektraldarstellungen:
	%	- komplexes Spektrum
	%	- Leistungsdichte-Spektrum
	%	- einseitige Spektraldarstellung
	3.9
	
	\parskip \baselineskip

	Das komplexe Spektrum erhält man durch die Fouriertransformation eines reellen Zeitsignals. Das Spektrum besteht aus
	positiven und negativen Frequenzen. Hierbei ist der Realteil spiegelsymmetrisch Re(-f) = Re(f) und der Imaginärteil 
	Punkt-zu-Punkt-symmetrisch Im(-f) = -Im(f). Aus Real- und Imaginärteil lassen sich infolge Amplitude und Phase bestimmen.
	
	Das Leistungsdichtespektrum ist die Verteilung der spektralen Anteile einer Schwingungsleistung über ein betrachtetes
	Frequenzspektrum. Das Integral über alle Frequenzanteile ergibt die komplette Leistung des Signals.

	Das einseitige Spektrum entsteht durch hinüberklappen des zweiseitigen Spektrums. Als Klapplinie dient der Nullpunkt.
	Hierdurch verdoppelt sich dargestellte Amplitude.	
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.35]{Micha3.jpg} \\
		\scriptsize \cite[S.53]{Nachrichtentechnik}
	\end{center}
	
	\newpage
	
	

	% Aufgabe 3.10
	% Was ist ein Histogramm
	3.10 

	\parskip \baselineskip

	Bei einem Histogramm handelt es sich um eine Häufigkeitsverteilung. Die darzustellenden Daten werden in Klassen
	eingeteilt und durch aneinandergrenzende Rechtecke mit konstanter oder variabler Breite dargestellt. Üblich ist es an der
	Abszisse die Variable (den Messwert) abzutragen und an der Ordinate die Häufigkeit, bzw. relative Häufigkeit.	
	\newline
	\newline
	
	\scriptsize \bibliography{Vorbereitung}



\end{document}